courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

HYPOTROCHOÏDE
Hypotrochoid, Hypotrochoide

hypocycloïde raccourcie avec q = 7/3hypocycloïde allongée avec q = 7/3

Du grec hupo "au-dessous" et trokhos  "roue".

 
 
Paramétrisation complexe : , soit a  est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b  la distance du point au centre du cercle mobile (q > 1).

Paramétrisation cartésienne : .

Les hypotrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0) ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque interne.Voir :
http://interactiva.matem.unam.mx/hjw/ensmat/c_espir_m.html
http://math.ucsd.edu/~dlittle/java/SpiroGraph.html

Autre façon de dire la même chose : les hypotrochoïdes sont les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle intérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les hypocycloïdes.
 

Si l’on remplace a par , b par  et d par a - b, l’hypotrochoïde obtenue est identique à celle de départ (propriété de double génération de l’hypotrochoïde).

On en déduit que si l’on conserve a, mais change q en  et k en , l’hypotrochoïde obtenue est homothétique de celle de départ dans le rapport k.

On obtient donc toutes les hypotrochoïdes en ne considérant que le cas q ³ 2.

Pour q = 2, on obtient les ellipses.

Pour q > 2, la courbe s'appelle aussi hypocycloïde raccourcie si k < 1, hypocycloïde allongée si k > 1.

Attention, d’après ce qui précède, dans le cas 1 < q < 2, les hypocycloïdes raccourcies sont obtenues paradoxalement pour k > 1 et les hypocycloïdes allongées, pour k < 1.

Pour  k = q - 1 (soit d = a - b)), on obtient une rosace  avec n > 1 .



Hypotrochoïdes avec q = 3

Hypotrochoïdes avec q = 4

Hypotrochoïdes avec q = 5

Hypotrochoïdes avec q = 5/3

Hypotrochoïdes avec q = 7/4

Hypotrochoïdes avec q = 7/3

Les hypotrochoïdes et les épitrochoïdes constituent les trochoïdes à centre.

On peut aussi définir les hypotrochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement somme de deux mouvements circulaires de sens contraires, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des hypocycloïdes si , des hypocycloïdes allongées si  et  ou  et , des épicycloïdes raccourcies si  et  ou  et  (on peut alors prendre , d = r2, donc ).

Voir une généralisation à trochoïde à centre.
 
 

gravure de J. Mandonnet


Un spirographe maritime !

 
 
 
 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000